中心からずれた二項係数の母関数

$\displaystyle F _ k := \sum _ {i = 0} ^ {\infty} \binom{k + 2i}{i} x ^ i = \sum _ {i = 0} ^ {\infty} \binom{k + 2i}{k + i} x ^ i = \sum _ {i = 0} ^ {\infty} \frac{(k + 2i)!}{i!(k + i)!} x ^ i$

と定義する。

$k = 0$

$k = 0$ は中心二項係数と呼ばれていて、 $\displaystyle F _ 0 = \frac{1}{\sqrt{1 - 4x} }$ である。これは天下りに与えられたものをテイラー展開で確認する以外の導出方法を知らない。

$k = 1$

パスカルの三角形を思い浮かべると、 $F _ 1$ を $2$ つ足し合わせて $F _ 0$ が作れることに気付く。すなわち $F _ 0 = 1 + 2x F _ 1$ であり、ここから $\displaystyle F _ 1 = \frac{1 - \sqrt{1 - 4x} }{2x\sqrt{1 - 4x}}$ である。

$k$ が一般の場合

$k = 1$ の場合と似たようにして、 $F _ k$ と $F _ {k + 2}$ を足し合わせることで $F _ {k + 1}$ が作れる。すなわち $F _ {k + 1} = F _ k + xF _ {k + 2}$ が成り立つ。これは $3$ 項間漸化式なので特性方程式 $f = 1 + xf ^ 2$ を解くと $\displaystyle f = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4x} }{2x}$ となる。あとは $F_ 0, F _ 1$ から係数を決定すれば一般項が分かるのだが、実は以下のようになる。