noshi91のメモ

データ構造のある風景

整数と実数と不等号と切り上げと切り捨て

同じ列にある 8 つの式は、 n \in \mathbb{Z}, r \in \mathbb{R}の元で同値です。
n \lt r n \le r n \gt r n \ge r
n \lt \lceil r \rceil n \le \lfloor r \rfloor n \gt \lfloor r \rfloor n \ge \lceil r \rceil
n \le \lceil r \rceil - 1 n \lt \lfloor r \rfloor + 1 n \ge \lfloor r \rfloor + 1 n \gt \lceil r \rceil - 1
n + 1 \le \lceil r \rceil n - 1 \lt \lfloor r \rfloor n - 1 \ge \lfloor r \rfloor n + 1 \gt \lceil r \rceil
r \gt n r \ge n r \lt n r \le n
\lceil r \rceil \gt n \lfloor r \rfloor \ge n \lfloor r \rfloor \lt n \lceil r \rceil \le n
\lceil r \rceil - 1 \ge n \lfloor r \rfloor + 1 \gt n \lfloor r \rfloor + 1 \le n \lceil r \rceil - 1 \lt n
\lceil r \rceil \ge n + 1 \lfloor r \rfloor \gt n - 1 \lfloor r \rfloor \le n - 1 \lceil r \rceil \lt n + 1

次の 4 つの式が成立します。

  • \max \left \lbrace n \in \mathbb{Z} \mathrel{} \middle | \mathrel{} n \lt r \right \rbrace = \lceil r \rceil - 1
  • \max \left \lbrace n \in \mathbb{Z} \mathrel{} \middle | \mathrel{} n \le r \right \rbrace = \lfloor r \rfloor
  • \min \left \lbrace n \in \mathbb{Z} \mathrel{} \middle | \mathrel{} n \gt r \right \rbrace = \lfloor r \rfloor + 1
  • \min \left \lbrace n \in \mathbb{Z} \mathrel{} \middle | \mathrel{} n \ge r \right \rbrace = \lceil r \rceil